مدل های شبکه [ ویرایش ]

مدل های شبکه به عنوان پایه ای برای درک تعامل در شبکه های پیچیده تجربی عمل می کنند. مختلف نمودار تصادفی مدل های نسل تولید ساختارهای شبکه که ممکن است در مقایسه با شبکه های پیچیده در دنیای واقعی استفاده می شود.

مدل نمودار تصادفی Erdős – Renii [ ویرایش ]

این مدل Erdős-Reni با گره N = 4 تولید می شود. برای هر لبه در نمودار کامل که توسط تمام گره های N تشکیل شده است ، یک عدد تصادفی تولید می شود و با یک احتمال مشخص مقایسه می شود. اگر عدد تصادفی کمتر از p باشد ، لبه ای روی مدل ایجاد می شود.

مدل Erdős-Rninyi ، به نام های Paul Erdős و Alfréd Rnii نامگذاری شده است ، برای تولید نمودارهای تصادفی که در آن لبه ها بین گره هایی با احتمال برابر قرار دارند ، استفاده می شود. می توان از این روش برای اثبات وجود نمودارهایی که خواص مختلف را برآورده می کنند یا تعریف دقیق از آنچه در آن برای نگهداری یک ویژگی برای تقریباً تمام نمودارها استفاده می شود ، استفاده کرد.

برای تولید یک مدل Erdős-Reni{\ نمایشگر G (n ، p)باید دو پارامتر مشخص شود: تعداد کل گره ها n و احتمال p که یک جفت تصادفی از گره ها دارای لبه باشند.

از آنجا که این مدل بدون تعصب به گره های خاص تولید می شود ، توزیع درجه دو جمله ای است: برای یک راس انتخاب شده به صورت تصادفی v،

\ displaystyle P (\ deg (v) = k) = {n-1 \ را انتخاب کنید k} p ^ {k} (1-p) ^ {n-1-k choose.}

در این مدل ضریب خوشه بندی 0 a.s است . رفتار{\ نمایشگر G (n ، p) می تواند به سه منطقه تقسیم شود.

خرده انتقادی{\ نمایشگر np <1: همه اجزای ساده و بسیار کوچک هستند ، بزرگترین مؤلفه دارای اندازه است (\ ورود به سیستم)\ displaystyle | C_ {1} | = O (\ ورود به سیستم)؛

\ displaystyle np = 1:)\ displaystyle | C_ {1} | = O (n ^ {\ frac {2} {3}})؛

فوق بحرانی  تقریباً n\ displaystyle | C_ {1} | \ تقریباً n جایی که \ displaystyle y = y (np) راه حل مثبت معادله است \ displaystyle e ^ {- pny} = 1-y.

بزرگترین مؤلفه متصل دارای پیچیدگی بالایی است. همه اجزای دیگر ساده و کوچک هستند (\ ورود به سیستم)\ displaystyle | C_ {2} | = O (\ ورود به سیستم).

مدل پیکربندی [ ویرایش ]

مدل پیکربندی یک دنباله درجه [12] [13] یا توزیع درجه [14] (که متعاقباً برای تولید یک دنباله درجه استفاده می شود) را به عنوان ورودی می گیرد و نمودارهای متصل به طور تصادفی را از هر نظر غیر از توالی درجه تولید می کند. این بدان معناست که برای یک انتخاب مشخص شده از دنباله درجه ، نمودار به طور تصادفی از مجموعه تمام نمودارهایی که مطابق با این دنباله درجه هستند انتخاب می شود. درجهکیک راس انتخابی تصادفی یک متغیر تصادفی مستقل و یکسان توزیع شده با مقادیر عدد صحیح است. چه زمانی\ textstyle \ mathbb {E} [k ^ {2}] - 2 \ mathbb {E} [k]--> 0، نمودار پیکربندی شامل مؤلفه متصل شده غول پیکر است ، که اندازه نامتناهی دارد. [13] بقیه مؤلفه ها دارای اندازه های محدود هستند که با مفهوم توزیع اندازه می توان اندازه گیری کرد. امکانw (n) که یک گره نمونه گیری تصادفی به یک جزء از اندازه وصل می شودنبا قدرت محکومیت توزیع درجه داده می شود: [15]

{\ displaystyle w (n) = {\ آغاز {موارد} {\ frac {\ mathbb {E} [k] {n-1}} u_ {1} ^ {* n} (n-2)، & n> 1 ، \\ u (0) & n = 1 ، \ end {موارد}}}

جایی که بریتانیا) توزیع درجه را نشان می دهد و \ displaystyle u_ {1} (k) = {\ frac {(k + 1) u (k + 1) ({\ mathbb {E} [k]}}}. با حذف تصادفی بخش بحرانی ، مؤلفه غول پیکر را می توان از بین برد{\ نمایشگر p_ {c}p_ {cاز همه لبه ها به این فرآیند نفوذ در شبکه های تصادفی گفته می شود . وقتی لحظه دوم توزیع مدرک محدود است ،\ textstyle \ mathbb {E} [k ^ {2}] <\ infty، این بخش بحرانی بحرانی توسط [16] داده شده است \ displaystyle p_ {c} = 1 - {\ frac {\ mathbb {E} [k]} {\ mathbb {E} [k ^ {2}] - \ mathbb {E} [k]}}و میانگین فاصله vertex-vertex ل در مقیاس های غول پیکر به صورت لگاریتمی با اندازه کل شبکه ،\ displaystyle l = O (\ log N). [14]

 

در مدل پیکربندی کارگردانی ، درجه گره توسط دو عدد ، به صورت درجه ای ارائه می شود k _ {\ متن {در} و درجه خارج{\ displaystyle k _ {\ text {out}}، و در نتیجه ، توزیع درجه دو متغیر است. تعداد مورد انتظار در لبه ها و لبه های خارج همزمان است ، به طوری که\ textstyle \ mathbb {E} [k _ {\ text {in}}] = \ mathbb {E} [k _ {\ text {out}}]}. مدل پیکربندی کارگردانی شامل مؤلفه غول پیکر iff است [17]

\ displaystyle 2 \ mathbb {E} [k _ {\ text {in}}] \ mathbb {E} [k _ {\ text {در}} k _ {\ متن {out}}] - \ mathbb {E} [k_ \ text {در}}] \ mathbb {E} [k _ {\ text {out}} ^ {2}] - \ mathbb {E} [k _ {\ text {in}}] \ mathbb {E} [k_ {\ text {در}} ^ {2}] + \ mathbb {E} [k _ {\ متن {در}} ^ {2}] \ mathbb {E} [k _ {\ text {out}} ^ {2} ] - \ mathbb {E} [k _ {\ text {in}} k _ {\ text {out}}] ^ {2}> 0.

توجه داشته باشید که\ textstyle \ mathbb {E} [k _ {\ text {in}]} و \ textstyle \ mathbb {E} [k _ {\ text {out}}]}در نابرابری دوم برابر و در نتیجه قابل تعویض هستند. احتمال اینکه یک راس انتخابی تصادفی به یک جزء از اندازه تعلق داشته باشدن از رابطه زیر بدست می آید: [18]

\ displaystyle h _ {\ text {in}} (n) = {\ frac {\ mathbb {E} [k_ {in}]} {n-1}} {\ tilde {u}} _ {\ text {in } ^ {* n} (n-2) ، \؛ n> 1، \؛ {\ tilde {u}} _ {\ text {in}} = {\ frac {k _ {\ text {in} + 1} {\ mathbb {E} [k _ {\ text {in}}]}} \ sum \ limit _ _ k _ {\ text {out}} \ geq 0} u (k _ {\ text {in}} + 1 ، k _ {\ متن {بیرون}}) ،}

برای مؤلفه ها ، و

 

\ displaystyle h _ {\ text {out}} (n) = {\ frac {\ mathbb {E} [k _ {\ text {out}}]} {n-1} {\ tilde {u}} _ \ text {out}} ^ {* n} (n-2)، \؛ n> 1، \؛ {\ tilde {u}} _ {\ text {out}} = {\ frac {k _ {\ text out}} + 1} {\ mathbb {E} [k _ {\ text {out}}]}} \ sum \ limit _ {k _ {\ text {در} \ geq 0} u (k _ {\ text {in }} ، k _ {\ متن {بیرون}} + 1) ،}

برای اجزای خارج

مدل جهانی کوچک وات و استروگاتز [ ویرایش ]

مدل واتس و استروگاتز برای دستیابی به ساختار خود از مفهوم rewering استفاده می کنند. ژنراتور مدل از هر لبه در ساختار شبکه اصلی عبور می کند. یک لبه ممکن است رئوس های متصل خود را با توجه به احتمال بارگذاری مجدد تغییر دهد.\ displaystyle \ langle k \ rangle = 4 در این مثال

مدل واتس و استروگاتز یک مدل تولید نمودار تصادفی است که نمودارهایی با آن تولید می کند خواص دنیای کوچک .

یک ساختار شبکه اولیه برای تولید یک مدل واتس استروگاتز استفاده می شود. هر گره در شبکه ابتدا با آن مرتبط می شود\ langle k \ rangle نزدیکترین همسایگان یک پارامتر دیگر به عنوان احتمال بارگذاری مجدد مشخص می شود. هر لبه یک احتمال دارد پ که به عنوان یک لبه تصادفی به نمودار منتقل می شود. تعداد مورد انتظار لینکهای بازنویسی شده در مدل است\ displaystyle pE = pN \ langle k \ rangle / 2.

از آنجایی که مدل واتس استروگاتس به عنوان ساختار شبکه غیر تصادفی شروع می شود ، دارای ضریب خوشه بندی بسیار بالایی به همراه طول متوسط ​​مسیر بالا است. هر بازنویسی احتمالاً میان خوشه های بسیار متصل ایجاد میانبر ایجاد می کند. با افزایش احتمال تکرار ، ضریب خوشه بندی کندتر از طول مسیر می شود. در واقع ، این اجازه می دهد تا میانگین طول مسیر شبکه با کاهش اندکی در ضریب خوشه بندی به طور قابل توجهی کاهش یابد. مقادیر بالاتر لبه های بازنویسی شده بیشتر از p ، که در واقع مدل واتس-استروگاتس را به یک شبکه تصادفی تبدیل می کند.

مدل دلبستگی ترجیحی بارابسی - آلبرت (BA) [ ویرایش ]

مدل باراباسی-آلبرت یک مدل شبکه تصادفی استفاده می شود برای نشان دادن دلبستگی ترجیحی و یا یک "دریافت غنی تر غنی" اثر است. در این مدل ، یک لبه به احتمال زیاد به گره هایی با درجات بالاتر متصل می شود. شبکه با یک شبکه اولیه گره m 0 شروع می شود. m 0  2 و درجه هر گره در شبکه اولیه باید حداقل 1 باشد ، در غیر این صورت همیشه از بقیه شبکه جدا می شود.

در مدل BA ، گره های جدید یک بار به شبکه اضافه می شوند. هر گره جدید به آن متصل استمگره های موجود با احتمال متناسب با تعداد پیوندهایی که گره های موجود از قبل دارند. بعبارت دیگر، احتمال P من که گره جدید متصل به گره من است [19]

p_ {i} = {\ frac {k_ {i}} sum \ sum _ {j} k_ {j}}} ،

که در آن ک من درجه گره من . گره های به شدت پیوند خورده ("هابها") تمایل دارند که به سرعت پیوندهای بیشتری را نیز جمع کنند ، در حالی که گره هایی که تنها تعداد کمی لینک دارند بعید است به عنوان مقصد برای پیوند جدید انتخاب شوند. گره های جدید دارای یک "اولویت" هستند تا بتوانند خود را به گره هایی که به شدت پیوند داده شده اند متصل کنند.

توزیع درجه BA Model ، که از قانون قدرت پیروی می کند. در مقیاس loglog ، تابع قانون قدرت یک خط مستقیم است. [20]

توزیع درجه ناشی از مدل BA مقیاس رایگان است ، به ویژه ، این یک قانون قدرت از فرم است:

P (k) \ sim k ^ {{- 3} \ ،

هاب ها از مرکزیت فاصله بالایی برخوردار هستند که اجازه می دهد مسیرهای کوتاه بین گره ها وجود داشته باشد. در نتیجه ، مدل BA تمایل به طول مسیری بسیار کوتاه دارد. ضریب خوشه بندی این مدل نیز به 0. گرایش می یابد. در حالی که قطر ، D ، بسیاری از مدلها از جمله مدل گرافیکی تصادفی Erdős Rényi و چندین شبکه جهانی کوچک متناسب با log N است ، مدل BA نمایشگاه D ~ loglogN (دنیای اولتراسمول) را دارد. [21] توجه داشته باشید که متوسط ​​طول مسیر با N به عنوان قطر است.

مدل دلبستگی محور (MDA) مدل [ ویرایش ]

در مدل دلبستگی محور (MDA) مدل که در آن یک گره جدید همراه استم لبه ها به طور تصادفی گره متصل موجود را انتخاب می کنند و سپس خود را نه با آن یکی بلکه با آن متصل می کنندمهمسایگان خود نیز به طور تصادفی انتخاب کردند. امکان){\ displaystyle \ Pi (i) که گره من از گره موجود انتخاب شده است

\ displaystyle \ Pi (i) = {\ frac {k_ {i}} {N}} {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} fr \ frac {1} {k_ { j}}}} {k_ {i}}}.

عامل \ displaystyle {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {k_ {i}} {\ frac {1} {k_ {j}}}}} k_ {i}}} معکوس از میانگین هارمونیک (IHM) درجه درجه است k_ {من همسایگان گره من. تحقیقات عددی گسترده نشان می دهد که تقریباً\ displaystyle m> 14 مقدار IHM متوسط ن حد ثابت می شود به این معنی که\ displaystyle \ Pi (i) \ propto k_ {i}. این بدان معناست که هر چه تعداد پیوندها (درجه) گره بیشتر باشد ، شانس دستیابی به پیوندهای بیشتر بیشتر می شود زیرا می توان از طریق واسطه ها به تعداد بیشتری راه دسترسی پیدا کرد که در اصل مظهر ایده شهودی ثروتمندان از مکانیسم غنی تر (یا ترجیحی) است. قانون دلبستگی مدل باربازی - آلبرت). بنابراین ، شبکه MDA می تواند از قانون PA پیروی کند اما به صورت مبدل باشد. [22]

با این حال ، برایمتر = 1 آن را توصیف می کند که برنده تمام مکانیسم را به دست می آورد و تقریباً می فهمیم {\ نمایشگر 99٪٪}از کل گره ها درجه یک و درجه فوق العاده غنی است. مانندم ارزش باعث افزایش اختلاف بین فوق العاده ثروتمند و فقیر می شود \ displaystyle m> 14 ما می توانیم مکانیسم ثروتمند تر شدن از ثروتمند شدن به ثروتمندتر شدن به ثروتمندان را پیدا کنیم.

مدل تناسب اندام [ ویرایش ]

مدل دیگری که عنصر اصلی آن ماهیت راس است ، توسط کالدارلی و همکاران معرفی شده است. [23] در اینجا پیوندی بین دو راس ایجاد می شود ، jمن ، ج با احتمال داده شده توسط یک تابع پیوند دهنده \ displaystyle f (\ eta _ {i}، \ eta _ {j})از تناسب اندام های رئوس درگیر. درجه یک راس من توسط [24] داده شده است

\ displaystyle k (\ eta _ {i}) = N \ int _ {0} ^ {\ infty} f (\ eta _ {i}، \ eta _ {j}) \ rho (\ eta _ {j ) \، d \ eta _ {j}

اگر \ displaystyle k (\ eta _ {i})} یک عملکرد غیرقابل برگشت و افزایش است \ eta _ {i}، پس از آن توزیع احتمال پ (ک) از رابطه زیر بدست می آید

\ displaystyle P (k) = \ rho (\ eta (k)) \ cdot \ eta '(k)

در نتیجه ، اگر تناسب اندام باشد \ و  به عنوان قانون قدرت توزیع می شوند ، سپس درجه گره نیز انجام می شود.

کمتر با شهود با توزیع احتمال پوسیدگی سریع به عنوان \ displaystyle \ rho (\ eta) = e ^ {- \ eta} همراه با یک عملکرد پیوند دهنده از نوع

\ displaystyle f (\ eta _ {i}، \ eta _ {j}) = \ تتا (\ eta _ {i} + \ eta _ {j} -Z)

با ز ثابت و\ تتا  عملکرد Heavyside ، ما همچنین شبکه های بدون مقیاس را بدست می آوریم.

چنین الگویی با موفقیت برای توصیف تجارت بین ملل با استفاده از تولید ناخالص داخلی به عنوان تناسب گره های مختلف انجام شده است  ، jمن ، جو یک تابع پیوند دهنده از نوع [25] [26]

\ displaystyle {\ frac {\ delta \ eta _ {i} \ eta _ {j}} {1+ \ delta \ eta _ {i} \ eta _ {j}}}.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Network_science