ماتریس های چگالی کاهش یافته [ ویرایش ]

ایده ماتریس چگالی کاهش یافته توسط پل دیراک در سال 1930 ارائه شد . بگذارید وضعیت سیستم ترکیبی باشد

|\Psi \rangle \در H_A \otimes H_B.

همانطور که در بالا اشاره شد، به طور کلی هیچ راهی برای مرتبط کردن حالت خالص به سیستم جزء A وجود ندارد. با این حال، هنوز هم می توان یک ماتریس چگالی را مرتبط کرد. اجازه دهید

\rho_T = |\Psi\rangle \; \langle\Psi|.

که عملگر پروجکشن در این حالت است. حالت A رد جزئی ρT بر اساس سیستم B است :

{\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j |_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr }}_{B}\;\rho _{T}.}

مجموع رخ می دهد بیش از{\displaystyle N_{B}:=\dim(H_{B})}ومن_{A}اپراتور هویت درH_A. ρ A گاهی اوقات ماتریس چگالی کاهش یافته ρ در زیر سیستم A نامیده می شود . به صورت محاوره ای، سیستم B را برای به دست آوردن ماتریس چگالی کاهش یافته روی A "ردیابی" می کنیم .

به عنوان مثال، ماتریس چگالی کاهش یافته A برای حالت درهم تنیده

\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left ( |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B \راست)،

مورد بحث در بالا است

\rho_A = \tfrac{1}{2} \left ( |0\rangle_A \langle 0|_A + |1\rangle_A \langle 1|_A \راست )

این نشان می‌دهد که، همانطور که انتظار می‌رود، ماتریس چگالی کاهش‌یافته برای یک مجموعه خالص درهم‌تنیده، یک مجموعه مخلوط است. همچنین جای تعجب نیست که ماتریس چگالی A برای حالت محصول خالص|\psi\rangle_A \otimes |\phi\rangle_Bمورد بحث در بالا است

{\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}}.

به طور کلی، یک حالت خالص دو بخشی ρ اگر و تنها در صورتی درهم می‌آید که حالت‌های کاهش‌یافته آن به جای خالص مخلوط شوند.

دو برنامه کاربردی که از آنها استفاده می کنند [ ویرایش ]

ماتریس های چگالی کاهش یافته به صراحت در زنجیره های اسپین مختلف با حالت پایه منحصر به فرد محاسبه شدند. یک مثال زنجیره چرخشی یک بعدی AKLT است : [63] حالت پایه را می توان به یک بلوک و یک محیط تقسیم کرد. ماتریس چگالی کاهش‌یافته بلوک متناسب با یک پروژکتور با حالت پایه منحط یک همیلتونی دیگر است.

ماتریس چگالی کاهش یافته نیز برای زنجیره های اسپین XY مورد ارزیابی قرار گرفت ، جایی که دارای رتبه کامل است. ثابت شد که در حد ترمودینامیکی، طیف ماتریس چگالی کاهش یافته یک بلوک بزرگ از اسپین ها یک دنباله هندسی دقیق است [64] در این مورد.

درهم تنیدگی به عنوان یک منبع [ ویرایش ]

در نظریه اطلاعات کوانتومی، حالت‌های درهم تنیده به عنوان یک «منبع» در نظر گرفته می‌شوند، یعنی چیزی که تولید آن پرهزینه است و امکان اجرای تبدیل‌های ارزشمند را فراهم می‌کند. محیطی که در آن این دیدگاه بیشتر مشهود است، «آزمایشگاه‌های دوردست» است، یعنی دو سیستم کوانتومی با برچسب‌های «A» و «B» که بر روی هر یک از آن‌ها می‌توان عملیات کوانتومی دلخواه را انجام داد، اما با یکدیگر برهمکنش کوانتومی ندارند. به صورت مکانیکی تنها تعامل مجاز مبادله اطلاعات کلاسیک است که همراه با عمومی ترین عملیات کوانتومی محلی باعث ایجاد کلاسی از عملیات به نام LOCC می شود.(عملیات محلی و ارتباطات کلاسیک). این عملیات اجازه تولید حالت‌های درهم‌تنیده را بین سیستم‌های A و B نمی‌دهد. اما اگر A و B با عرضه‌ای از حالت‌های درهم‌تنیده ارائه شوند، آن‌گاه اینها همراه با عملیات LOCC می‌توانند کلاس بزرگ‌تری از تبدیل‌ها را فعال کنند. به عنوان مثال، تعامل بین یک کیوبیت A و یک کیوبیت B را می توان با انتقال کیوبیت A به B از راه دور، سپس اجازه دادن به آن با کیوبیت B (که اکنون یک عملیات LOCC است، زیرا هر دو کیوبیت در آزمایشگاه B هستند) و سپس کیوبیت را از راه دور به A برگردانید. در این فرآیند از دو حالت حداکثر درهم تنیده دو کیوبیت استفاده می شود. بنابراین حالت‌های درهم‌تنیده منبعی هستند که امکان تحقق برهم‌کنش‌های کوانتومی (یا کانال‌های کوانتومی) را در محیطی که فقط LOCC در دسترس است، اما در این فرآیند مصرف می‌شوند را ممکن می‌سازد.[65]

طبقه بندی درهم تنیدگی [ ویرایش ]

همه حالات کوانتومی به عنوان یک منبع ارزشمند نیستند. برای تعیین کمیت این مقدار، می توان از معیارهای درهم تنیدگی مختلفی استفاده کرد (به زیر مراجعه کنید)، که یک مقدار عددی را به هر حالت کوانتومی اختصاص می دهد. با این حال، اغلب جالب است که به روشی درشت تر برای مقایسه حالت های کوانتومی بسنده کنیم. این باعث ایجاد طرح های طبقه بندی مختلف می شود. اکثر کلاس های درهم تنیدگی بر اساس اینکه آیا می توان حالت ها را با استفاده از LOCC یا زیر کلاسی از این عملیات به حالت های دیگر تبدیل کرد، تعریف می شوند. هرچه مجموعه عملیات مجاز کوچکتر باشد، طبقه بندی دقیق تر است. نمونه های مهم عبارتند از:

  • اگر بتوان دو حالت را با یک عملیات واحد محلی به یکدیگر تبدیل کرد، گفته می شود که در یک کلاس LU هستند. این بهترین کلاس از کلاس های معمولاً در نظر گرفته شده است. دو حالت در یک کلاس LU دارای ارزش یکسانی برای اندازه‌گیری‌های درهم تنیدگی و مقدار یکسانی به عنوان منبع در تنظیمات آزمایشگاه‌های دوردست هستند. تعداد بی نهایت کلاس LU مختلف وجود دارد (حتی در ساده ترین حالت دو کیوبیت در حالت خالص). [66] [67]
  • اگر بتوان دو حالت را با عملیات محلی از جمله اندازه‌گیری‌هایی با احتمال بزرگتر از 0 به یکدیگر تبدیل کرد، گفته می‌شود که در همان کلاس SLOCC ("LOCC تصادفی") هستند. از نظر کیفی دو حالت\rho _{1}و\rho _{2}در همان کلاس SLOCC به همان اندازه قدرتمند هستند (از آنجایی که می توانم یکی را به دیگری تبدیل کنم و سپس هر کاری که به من اجازه می دهد انجام دهم)، اما از آنجایی که تبدیل ها{\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}و{\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}ممکن است با احتمال متفاوت موفق شوند، دیگر به یک اندازه ارزشمند نیستند. به عنوان مثال، برای دو کیوبیت خالص تنها دو کلاس SLOCC وجود دارد: حالت‌های درهم‌تنیده (که شامل حالات بل (بیشترین درهم‌تنیده) است و حالت‌های درهم‌تنیده ضعیف مانند{\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }) و آنهایی که قابل تفکیک هستند (یعنی حالتهای محصول مانند|00\rangle). [68] [69]
  • به‌جای در نظر گرفتن تبدیل‌های تک نسخه‌های یک حالت (مانند{\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}) می توان کلاس ها را بر اساس امکان تبدیل های چند کپی تعریف کرد. به عنوان مثال، نمونه هایی وجود دارد که{\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}توسط LOCC غیر ممکن است، اما{\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}ممکن است. یک طبقه بندی بسیار مهم (و بسیار درشت) بر اساس این ویژگی است که آیا می توان تعداد زیادی کپی از یک حالت را به طور دلخواه تغییر داد.\rhoحداقل به یک حالت درهم تنیده خالص. کشورهایی که این خاصیت را دارند قابل تقطیر نامیده می شوند . این حالت‌ها مفیدترین حالت‌های کوانتومی هستند، زیرا با توجه به تعداد کافی از آنها، می‌توان آن‌ها را (با عملیات محلی) به هر حالت درهم تنیده تبدیل کرد و از این رو امکان استفاده از همه موارد ممکن را فراهم کرد. در ابتدا جای تعجب بود که همه حالت‌های درهم‌تنیده قابل تقطیر نیستند، آن‌هایی که نیستند « درهم پیچیده » نامیده می‌شوند. [70] [65]

یک طبقه‌بندی متفاوت درهم‌تنیدگی بر اساس آن چیزی است که همبستگی‌های کوانتومی موجود در یک حالت به A و B اجازه انجام آن را می‌دهند: سه زیر مجموعه از حالت‌های درهم‌تنیده را متمایز می‌کنیم: (1) حالت‌های غیرمحلی ، که همبستگی‌هایی را تولید می‌کنند که با یک پنهان محلی قابل توضیح نیستند. مدل متغیر و بنابراین یک نابرابری بل را نقض می کند، (2) حالات قابل هدایت که حاوی همبستگی های کافی برای A هستند تا با اندازه گیری های محلی حالت کاهش یافته شرطی B را به گونه ای تغییر دهد ("هدایت" کند، به طوری که A بتواند به B ثابت کند که حالتی که آنها دارند واقعاً در هم تنیده است، و در نهایت (3) آن حالات درهم تنیده ای که نه غیر محلی هستند و نه قابل هدایت. هر سه مجموعه خالی نیستند. [71]