2-مدار کوانتومی

مدارهای منطقی برگشت پذیر [ ویرایش ]

مجدداً، ما ابتدا محاسبات کلاسیک برگشت پذیر را در نظر می گیریم. از نظر مفهومی، هیچ تفاوتی بین یک مدار n-bit برگشت پذیر و یک دروازه منطقی n- bit برگشت پذیر وجود ندارد : هر یک فقط یک تابع معکوس در فضای داده n بیتی است. با این حال، همانطور که در بخش قبل ذکر شد، به دلایل مهندسی، ما می‌خواهیم تعداد کمی دروازه‌های برگشت‌پذیر ساده داشته باشیم که بتوان آن‌ها را برای مونتاژ هر مدار برگشت‌پذیر کنار هم قرار داد.

برای توضیح این فرآیند مونتاژ، فرض کنید یک دروازه n بیتی برگشت پذیر f و یک دروازه m بیتی برگشت پذیر g داریم . کنار هم قرار دادن آنها به معنای تولید یک مدار جدید با اتصال مجموعه ای از k خروجی f به مجموعه ای از k ورودی g مانند شکل زیر است. در آن شکل، n = 5، k = 3 و m = 7. مدار حاصل نیز برگشت پذیر است و بر روی n + m − k بیت عمل می کند.

ما به این طرح به عنوان یک مجموعه کلاسیک اشاره خواهیم کرد (این مفهوم مطابق با یک تعریف فنی در مقاله پیشگام Kitaev است که در زیر ذکر شده است). در ترکیب این ماشین‌های برگشت‌پذیر، مهم است که اطمینان حاصل شود که ماشین‌های میانی نیز برگشت‌پذیر هستند. این شرایط تضمین می کند که "زباله" میانی ایجاد نمی شود (اثر فیزیکی خالص افزایش آنتروپی است که یکی از انگیزه های انجام این تمرین است).

توجه داشته باشید که هر خط افقی در تصویر بالا نشان دهنده 0 یا 1 است، نه این احتمالات. از آنجایی که محاسبات کوانتومی برگشت پذیر هستند، در هر «مرحله» تعداد خطوط باید به همان تعداد خطوط ورودی باشد. همچنین، هر ترکیب ورودی باید در هر «مرحله» به یک ترکیب واحد نگاشت شود. این بدان معنی است که هر ترکیب میانی در یک مدار کوانتومی تابعی از ورودی است. [6]

اکنون می توان نشان داد که دروازه تافولی یک دروازه جهانی است. این بدان معناست که با توجه به هر مدار کلاسیک n بیتی برگشت پذیر h ، می‌توانیم مجموعه کلاسیکی از دروازه‌های تافولی را به روش بالا بسازیم تا یک مدار بیت ( n + m ) f تولید کنیم .

$f(x_{1},\ldots,x_{n},\underbrace {0,\dots ,0} )=(y_{1},\ldots,y_{n},\underbrace {0,\ldots ,0 } )$

که در آن m ورودی های صفر زیر مهاربندی شده وجود دارد و

$(y_{1}،\ldots،y_{n})=h(x_{1}،\ldots،x_{n})$ .

توجه داشته باشید که نتیجه نهایی همیشه یک رشته از m صفر به عنوان بیت های آنسیلا دارد. هیچ "آشغالی" هرگز تولید نمی شود، و بنابراین این محاسبات در واقع محاسباتی است که از نظر فیزیکی، آنتروپی ایجاد نمی کند. این موضوع در مقاله کیتایف به دقت مورد بحث قرار گرفته است.

به طور کلی، هر تابع f (دوگانه یا غیر دوگانه) را می توان با مداری از دروازه های تافولی شبیه سازی کرد. بدیهی است که اگر نقشه برداری تزریقی نباشد ، در نقطه ای از شبیه سازی (مثلاً به عنوان آخرین مرحله) باید مقداری "زباله" تولید شود.

برای مدارهای کوانتومی می توان ترکیب مشابهی از دروازه های کیوبیت را تعریف کرد. یعنی در ارتباط با هر مجموعه کلاسیک مانند بالا، می‌توانیم یک مدار کوانتومی برگشت‌پذیر تولید کنیم که به جای f یک دروازه n - کیوبیت U و به جای g یک دروازه m - کیوبیت W داشته باشیم . تصویر زیر را ببینید:

بررسی این واقعیت که اتصال گیت ها از این طریق منجر به یک نقشه برداری واحد در فضای کیوبیت n + m - k می شود، به راحتی قابل بررسی است. در یک کامپیوتر کوانتومی واقعی، ارتباط فیزیکی بین دروازه‌ها یک چالش مهندسی بزرگ است، زیرا یکی از مکان‌هایی است که ممکن است ناپیوستگی رخ دهد.

همچنین قضایای جهان شمولیت برای مجموعه خاصی از دروازه های معروف وجود دارد. برای مثال، برای جفت متشکل از گیت فاز تک کیوبیتی U θ (برای مقدار مناسب θ)، همراه با گیت CNOT 2 کیوبیتی W CNOT ، چنین قضیه جهانی وجود دارد . با این حال، قضیه جهانی بودن برای مورد کوانتومی تا حدودی ضعیف‌تر از قضیه کلاسیک است. فقط ادعا می کند که هر مدار n - کیوبیت برگشت پذیر را می توان بطور دلخواه توسط مدارهای مونتاژ شده از این دو گیت اولیه تقریب زد. توجه داشته باشید که غیرقابل شمارش هستندبسیاری از گیت های فاز تک کیوبیتی ممکن، یکی برای هر زاویه ممکن θ، بنابراین نمی توان همه آنها را با یک مدار محدود ساخته شده از { U θ ، W CNOT } نشان داد.

محاسبات کوانتومی [ ویرایش ]

تاکنون نشان نداده‌ایم که چگونه از مدارهای کوانتومی برای انجام محاسبات استفاده می‌شود. از آنجایی که بسیاری از مسائل مهم عددی به محاسبه یک تبدیل واحد U در فضای محدود محدود می‌شوند ( تبدیل فوریه گسسته معروف مثال اصلی است)، می‌توان انتظار داشت که مدار کوانتومی بتواند برای انجام تبدیل U طراحی شود. در اصل، فقط باید یک حالت n کیوبیت ψ به عنوان برهم نهی مناسب از حالت های پایه محاسباتی برای ورودی تهیه و خروجی U ψ را اندازه گیری کرد. متاسفانه دو مشکل در این مورد وجود دارد:

نمی توان فاز ψ را در هر حالت پایه محاسباتی اندازه گیری کرد، بنابراین هیچ راهی برای خواندن پاسخ کامل وجود ندارد. این در ماهیت اندازه گیری در مکانیک کوانتومی است .
هیچ راهی برای آماده سازی کارآمد حالت ورودی ψ وجود ندارد.

این مانع از استفاده مدارهای کوانتومی تبدیل فوریه گسسته به عنوان مراحل میانی در مدارهای کوانتومی دیگر نمی شود، اما استفاده از آن ظریف تر است. در واقع محاسبات کوانتومی احتمالاتی هستند .

ما اکنون یک مدل ریاضی برای اینکه چگونه مدارهای کوانتومی می توانند محاسبات احتمالی اما کلاسیک را شبیه سازی کنند، ارائه می دهیم. یک مدار r -qubit U با فضای رجیستر H QB( r ) را در نظر بگیرید. بنابراین U یک نقشه واحد است

$H_{\operatorname {QB} (r)}\rightarrow H_{\operatorname {QB} (r)}.$

برای اینکه این مدار را به یک نگاشت کلاسیک روی رشته های بیتی مرتبط کنیم، مشخص می کنیم

یک ثبات ورودی X = {0,1} متر از بیت (کلاسیک) m .
یک ثبات خروجی Y = {0,1} n از n بیت (کلاسیک).

محتویات x = x 1 ، ...، x m از ثبات ورودی کلاسیک برای مقداردهی اولیه ثبات کیوبیت به نحوی استفاده می شود. در حالت ایده آل، این کار با حالت پایه محاسباتی انجام می شود

$|{\vec {x}},0\rangle =|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m},\underbrace {0,\dots ,0} \rangle ,$

که در آن ورودی های صفر تحت مهاربندی r - m وجود دارد. با این وجود، این مقداردهی اولیه کاملاً غیر واقعی است. بنابراین فرض کنید که مقداردهی اولیه یک حالت ترکیبی است که توسط عملگر چگالی S ارائه شده است که نزدیک به ورودی ایده آل در برخی متریک مناسب است، به عنوان مثال

$\operatorname {Tr} \left({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |}\right)\leq \ دلتا .$

به طور مشابه، فضای ثبت خروجی به رجیستر کیوبیت، توسط یک A قابل مشاهده با مقدار Y مرتبط است . توجه داشته باشید که مشاهده پذیرها در مکانیک کوانتومی معمولاً بر حسب معیارهای ارزش پیش بینی شده روی R تعریف می شوند . اگر متغیر گسسته باشد، اندازه‌گیری با ارزش پیش‌بینی شده به یک خانواده {E λ } که در برخی از پارامتر λ در محدوده یک مجموعه قابل شمارش نمایه شده است، کاهش می‌یابد. به طور مشابه، یک قابل مشاهده با مقدار Y ، می تواند با خانواده ای از پیش بینی های متعامد زوجی {E y } که توسط عناصر Y نمایه شده اند مرتبط شود . به طوری که

$I=\sum _{y\in Y}\operatorname {E} _{y}.$

با توجه به یک حالت مختلط S ، یک اندازه گیری احتمال بر روی Y وجود دارد که توسط آن داده شده است

$\operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{y}).$

تابع F : X → Y توسط یک مدار U : H QB( r ) → H QB( r ) در داخل ε محاسبه می شود اگر و فقط اگر برای همه رشته های بیت x به طول m

$\left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0 \right\rangle =\left\langle \operatorname {E} _{F(x)}U(|{\vec {x}},0\rangle ){\big |}U(|{\vec {x} },0\rangle )\right\rangle \geq 1-\epsilon .$

اکنون

$\left|\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)-\left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{ *}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle \right|\leq \operatorname {Tr} ({\big |}| {\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |})\|U^{*}\operatorname {E} _{F(x)} U\|\leq \delta$

به طوری که

$\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)\geq 1-\epsilon -\delta .$

قضیه . اگر ε + δ < 1/2، پس توزیع احتمال

$\operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{y}U)$

روی Y را می توان برای تعیین F ( x ) با احتمال خطای خودسرانه کوچک با نمونه گیری اکثریت، برای حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ استفاده کرد. به طور خاص، k نمونه مستقل را از توزیع احتمال Pr روی Y بگیرید و مقداری را انتخاب کنید که بیش از نیمی از نمونه ها با آن موافق باشند. احتمال اینکه مقدار F ( x ) بیش از k /2 بار نمونه برداری شود حداقل است

$1-e^{-2\گاما ^{2}k}،$

جایی که γ = 1/2 - ε - δ.

این با اعمال کرانوف Chernoff دنبال می شود .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به مدار کوانتومی موجود است .

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_circuit

+ نوشته شده در شنبه بیست و نهم مرداد ۱۴۰۱ ساعت 4:36 توسط علی رضا نقش |

کامپیوتر و ریاضی با علی رضا نقش

آموزش