کامپیوتر و ریاضی با علی رضا نقش

با ترکیب رابطه مواد دی الکتریک ما، تعریف ما از پتانسیل الکتریکی و معادله الکترواستاتیک ماکسول، می توان یک معادله دیفرانسیل بدست آورد که ولتاژ متغیر فضا را به چگالی بار حجمی فضا مرتبط می کند:

به عبارت دیگر، این معادله بیان می کند: واگرایی گرادیان ولتاژ متناسب با چگالی حجم بار در هر نقطه از فضا است . عملیاتی که شامل واگرایی گرادیان یک تابع اسکالر است در علوم فیزیکی نام خاصی دارد. لاپلاسی نامیده می شود . بنابراین، می‌توانیم این معادله را در کلمات زیر دوباره بیان کنیم: ولتاژ لاپلاسی متناسب با چگالی حجم بار است . عملگر لاپلاسی به قدری در الکترومغناطیسی و سایر زمینه ها رخ می دهد که علامت کوتاه مختص به خود را دارد: . عملگر لاپلاسی برای ولتاژ به صورت زیر تعریف می شود:

اگرچه لاپلاسین فرم فشرده و ظریفی دارد، اما یک معادله دیفرانسیل جزئی چند متغیره را تعریف می کند که حل آن می تواند بسیار دشوار باشد.

معادله ای که لاپلاسین ولتاژ را به بار الکترواستاتیکی مرتبط می کند، بسته به وجود بارها، دو نام دارد. معادله پواسون نام این رابطه زمانی است که بارها در فضای تعریف شده وجود داشته باشند. برای حل معادله پواسون، به دو اطلاعات در مورد ناحیه حل فضا نیاز داریم: 1) شرایط مرزی ولتاژ و 2) توزیع بار. معادله لاپلاس نام این رابطه است زمانی که هیچ باری وجود ندارد و فقط به اطلاعاتی در مورد شرایط مرزی ولتاژ نیاز دارد. بنابراین، دو شکل این معادله هستند

در این بحث، ما بر حل عددی معادله لاپلاس تمرکز خواهیم کرد، اگرچه بسط نتایج به معادله پواسون بسیار آسان است.

معادله لاپلاس گسسته

نمونه های بسیار کمی از مسائل الکترواستاتیکی وجود دارد که بتوان آنها را با استفاده از شکل تحلیلی معادلات لاپلاس حل کرد. خوشبختانه ما می توانیم معادله لاپلاس را به گونه ای تغییر دهیم که توسط کامپیوتر حل شود. این مستلزم آن است که از فضا نمونه برداری کنیم و ولتاژهای یک منطقه را فقط در تعداد محدودی از نقاط گسسته محاسبه کنیم. اگر این نقاط را به طور دقیق مدل کنیم، با استفاده از درون یابی، ولتاژ بین آنها را تقریب می زنیم .

برای اهداف این بحث، از یک شبکه مستطیل شکل برای نمونه برداری از ولتاژ در فضای دو بعدی استفاده می کنیم. نمونه ای از این نمونه برداری دو بعدی در شکل 1 نشان داده شده است. هندسه شبکه مستطیلی بسیار آسان است که محاسبه و به یک آرایه کامپیوتری از ولتاژها تبدیل شود. در واقع انواع دیگری از طرح های نمونه برداری برای معادله لاپلاس وجود دارد که برای انواع خاصی از مسائل بهینه شده اند. برای مثال، روش اجزای محدود (FEM)، به مهندس این امکان را می دهد که از فضا با گره های غیر یکنواخت نمونه برداری کند. برای FEM، مناطقی از فضا که تغییرات بزرگ‌تری در ولتاژ تجربه می‌کنند، نمونه‌های متراکم‌تری نسبت به مناطقی از فضا با ولتاژهای آهسته‌تغییر دریافت می‌کنند. به این ترتیب، FEM نمونه‌ها را در فضا «جایی که بیشترین کار را انجام می‌دهند» قرار می‌دهد و زمان محاسبه مشکلات بسیار بزرگ را به حداقل می‌رساند.

شکل 1: یک شبکه یکنواخت مستطیل شکل برای نمونه برداری از ولتاژ در فضای دو بعدی استفاده می شود. از این نمونه های گسسته، باید مشتقات جزئی را در x و y تخمین بزنیم .

نمونه های بسیار کمی از مسائل الکترواستاتیکی وجود دارد که بتوان آنها را با استفاده از شکل تحلیلی معادلات لاپلاس حل کرد. خوشبختانه، ما می توانیم معادله لاپلاس را به گونه ای تغییر دهیم که ممکن است توسط یک کامپیوتر حل شود. برای انجام این کار، ما باید راهی برای تقریب مشتقات جزئی دوم ولتاژ با استفاده از نمونه های گسسته خود در فضا پیدا کنیم. با مراجعه به شکل 1، اگر بخواهیم اولین مشتق جزئی ولتاژ را در نقطه ای از فضا تقریب بزنیم، می توانیم بر اساس ولتاژهای مجاور آن عبارتی بسازیم: VN ، V S ، V E ، و V W (شمال، جنوب، شرق و غرب). در واقع، برای مشتقات جزئی ولتاژ با توجه به هر دو x و y ، دو تقریب ممکن برای هر کدام وجود دارد:

این تقریب ها به طور بسیار منطقی از تعریف مشتق جزئی پیروی می کنند: آنها تغییر ولتاژ را در جهت x یا y نشان می دهند ، تقسیم بر افزایش فضایی که نمونه ها را جدا می کند. بنابراین، ما دو عبارت ممکن برای مشتق جزئی با توجه به x داریم (که V E 'و V W ' می نامیم ) و دو عبارت ممکن برای مشتق جزئی با توجه به y (که V N ' و V S ' می نامیم. ).

اکنون که تقریبی برای مشتقات جزئی اول داریم، می‌توانیم برای مشتقات جزئی دوم نیز تقریب بسازیم، بر اساس این ایده‌آل که مشتق جزئی دوم صرفاً «مشتق یک مشتق» است. بنابراین، ما می توانیم از تفاوت بین V E ' و V W ' برای تخمین مشتق جزئی دوم در جهت x استفاده کنیم . می‌توانیم از تفاوت بین VN و VS برای تخمین مشتق جزئی دوم در جهت y استفاده کنیم . معادلات این مورد در زیر آورده شده است:

اکنون روابط کافی برای ساختن یک نسخه گسسته از معادلات لاپلاس در دو بعد داریم. جایگزینی این مقادیر در تعریف لاپلاسی به ما می دهد:

این جمله آخر است که در صورت عدم وجود بار در فضا، باید برابر با صفر قرار گیرد.

راحت ترین انتخاب افزایش فضایی مورد Dx=Dy است که نمونه برداری را بر روی یک شبکه مربعی نشان می دهد. در این شرایط، شکل گسسته معادله لاپلاس به صورت زیر در می آید:

این معادله در واقع بسیار ساده است: بیان می کند که یک ولتاژ در هر نقطه خاص در فضای نمونه برداری یکنواخت باید میانگین نزدیکترین همسایگان آن باشد. بنابراین شکل گسسته معادله لاپلاس در واقع یک شبکه دو بعدی از معادلات میانگین گیری ساده و به هم پیوسته است. بنابراین، یک شبکه M x N از نمونه‌های ولتاژ معادلات گسسته MN را تولید می‌کند که می‌تواند به صورت تکراری توسط یک کامپیوتر حل شود. یک مثال آنلاین در این آموزش وجود دارد که در مورد چگونگی حل معادلات لاپلاس گسسته و همچنین برخی از کدهای Matlab برای حل و ترسیم راه حل های محاسبات جالب ولتاژ دو بعدی بحث می کند.

برای حل معادله لاپلاس واقعاً نیازی به کدهای کامپیوتری پیچیده ندارید. در واقع شما می توانید معادله لاپلاس را خیلی راحت و تنها با استفاده از یک صفحه گسترده حل کنید! به سادگی این فرمول میانگین‌گیری را در شبکه‌ای از سلول‌ها قرار دهید، سلول‌ها را با شرایط مرزی احاطه کنید، و سپس محاسبه را تکرار کنید تا مقادیر ولتاژ به نظر برسد که به یک پاسخ نهایی همگرا شوند.